“Fare matematica” con le opere di M.C.Escher

1. Introduzione

Le opere di Escher sono spesso riprodotte su libri, calendari, carte da gioco, puzzle, cd-rom, siti internet,...sono state e sono tuttora oggetto di studi teorico-tecnici e di pubblicazioni su riviste di divulgazione scientifica. In queste ultime solitamente si evidenziano gli aspetti matematici di alcuni disegni, facendo riferimenti alla biografia dell’artista, al fatto che Escher, pur non avendo una preparazione scientifica di base, abbia utilizzato, oltre a fantasia e creatività, concetti matematici allo scopo di realizzare e concretizzare le sue idee.

2. Quale matematica?

La matematica a cui si riferisce l’artista è in particolare “la divisione regolare del piano” della quale egli si occupò dopo aver visitato l’Alhambra di Granada, in cui poté ammirare e successivamente studiare le maioliche, tipica espressione dell’arte islamica. La produzione di pavimentazioni o di disegni di motivi ripetuti caratterizza spesso le culture: se ne possono trovare esempi quasi presso ogni civiltà. L’originalità di Escher sta nella scelta di ricoprire il piano con figure inusuali, soprattutto con animali. A partireda una griglia triangolare, quadrangolare, esagonale ecc. egli pensò di modificare il contorno del poligono-base in modo da ricavarne figure di esseri viventi, cosa che non era concessa dal Corano agli artisti islamici. Sviluppando quest’idea realizzò numerosi lavori, alcuni molto noti, altri meno.
Ma quale matematica? Innanzitutto e soprattutto la geometria, che può essere sviluppata nei seguenti aspetti: tassellazioni, trasformazioni geometriche, aree, geometrie non euclidee, la geometria dello spazio.
Significativa è la litografia Rettili (fig. 1): tra i numerosi oggetti che compaiono in essa si nota un foglio sul quale, dopo averlo tassellato con esagoni, sono stati disegnati dei rettili che a un certo punto “prendono vita” e cominciano a salire. Leggiamo la descrizione che ne fa l’autore: “Uno di questi animali […] allunga una zampa al di là del bordo del quaderno e si distacca per entrare nella vita reale. Si arrampica […] per procedere, con fatica, su una salita scivolosa di una squadra da disegno, fino all’apice della sua esistenza. Dopo un breve riposo […] torna verso il basso sulla superficie piatta della carta da disegno, dove, ubbidiente, si inserisce fra i suoi vecchi compagni e riprende la sua funzione di elemento della divisione del piano”

Figura 1. M. C. Escher, Rettili

Si ritrovano qui alcuni motivi fondamentali della produzione artistica di Escher: le tassellazioni, il passaggio dal piano allo spazio, i solidi geometrici.

3. Divisione periodica del piano e trasformazioni geometriche

Dopo aver presentato la litografia Rettili, si può passare a una situazione più semplice come quella illustrata nel disegno preparatorio (fig. 2).

Figura 2. Disegno preparatorio a M. C. Escher, Rettili

Si possono fare inizialmente osservazioni generali: il ricoprimento è ottenuto mediante figure direttamente congruenti, di tre colori diversi (rosa, verde e bianco) per poterle distinguere. Ci si può chiedere come mai questi rettili ricoprano perfettamente il piano. Per rispondere basta analizzare uno degli esagoni con i quali è stato tassellato inizialmente il foglio e il rettile in esso contenuto: si può verificare che le parti dell’animale esterne all’esagono sono riprodotte con altro colore all’interno; in altre parole, si può vedere come Escher abbia ottenuto il rettile a partire da un esagono dal quale “ha tolto alcuni pezzi” per “attaccarli poi esternamente ad esso” (dunque la superficie della porzione di piano occupata da un rettile deve essere uguale a quella dell’esagono-base!). Se si conoscono le trasformazioni geometriche si può analizzare meglio la tecnica utilizzata; consideriamo, per esempio, un rettile bianco e l’esagono che “lo racchiude”: la zampa posteriore sinistra esce dall’esagono. Appoggiamo un lucido trasparente sul foglio e ricopiamola. Facciamo poi ruotare il lucido in senso orario di 120°: osserviamo che il nostro disegno si sovrappone alla zampa posteriore sinistra di un rettile rosa. Considerazioni analoghe si possono fare per gli altri pezzi esterni all’esagono come una parte del capo del rettile e una parte della zampa posteriore destra. Gli altri tre pezzi, cioè una parte della coda e parti delle zampe anteriori sono state ottenute mediante la tecnica del "copia e incolla" ovvero applicando rotazioni e traslazioni.
Un’altra possibilità è quella di fare una lettura in termini di rasformazioni geometriche: una volta individuato l’elemento-base (un rettile) se ne possono scegliere tre di colori diversi e che abbiano un punto in
comune (per esempio, quello comune a tre teste) e si possono studiare le trasformazioni degli uni negli altri. Si ritrova così il gruppo delle rotazioni che mutano un triangolo equilatero in sé, che si può poi vedere come un sottogruppo di quello delle isometrie di un triangolo. In questo modo si affrontano o si ritrovano concetti di geometria delle trasformazioni, ma anche di algebra astratta. Inoltre si può scegliere di lavorare, per esempio, solo con i rettili bianchi e sviluppare il tema delle traslazioni e loro composizione. Si possono anche far applicare o scoprire teoremi di geometria delle trasformazioni mediante esercizi impostati così: si scelgono due animali (che d’ora in poi chiameremo figure, essendo insiemi di punti del piano effettivamente lo sono!) e si chiede di individuare mediante quale tipo di trasformazione si possa passare dall’uno all’altro. In altre parole, scelte per esempio due figure corrispondenti attraverso la composizione di una rotazione e una traslazione, si può chiedere di individuare di che tipo è la trasformazione composta e, una volta stabilito che si tratta di una rotazione, si può chiedere di individuarne centro e ampiezza. La dimostrazione del relativo teorema può risultare indispensabile per comprendere che l’ampiezza è quella della rotazione iniziale e come costruire il centro.
Le attività descritte sinora sono forse più adatte per la scuola dell’obbligo; possono essere proposte anche nel biennio, ma ovviamente con tempi diversi, per poi passare a un’analisi in termini di pattern design. In altre parole, dopo aver spiegato che a ogni configurazione decorativa soggiace un reticolo, si può impostare
un’analisi che conduca a individuarne i vettori di base: in questo modo si scopre che la maglia è un rombo di lato p, con un angolo di 60° all’interno del quale si notano un centro di simmetria nel punto di incontro delle diagonali e due centri di rotazione di ordine 3. Si può illustrare la classificazione di Polya dei 17 gruppi di trasformazione del piano e vedere in quale di questi rientri il caso esaminato. Infine è possibile individuare nel piano cartesiano le equazioni delle isometrie generatrici del gruppo di trasformazioni.

5. L’infinito

Inizialmente Escher si dedicò al ricoprimento del piano del foglio con motivi ripetuti, spesso identici a parte il colore. A proposito di un suo disegno di questo tipo, Studio di divisione regolare del piano con rettili,
l’autore commenta così: “Che cosa è stato realizzato con l’ordinata suddivisione della superficie (…)? Non ancora il vero infinito, ma comunque un frammento di esso, un pezzo dell’universo dei rettili. Se la superficie in cui essi si inseriscono fosse infinitamente grande, un numero infinito di essi potrebbe esservi rappresentato”. In questa frase si legge il desiderio dell’artista di rappresentare “l’infinito”; questa sua esigenza è andata via via crescendo e l’ha condotto in effetti a una produzione in questo senso.
Si tratta delle opere in cui le figure rappresentate sono ottenute mediante progressivi rimpicciolimenti.
Significativa in questo senso è Sempre più piccolo (fig. 3), una xilografia in cui sono sempre rappresentati dei rettili, che però diventano sempre più piccoli a mano a mano che ci si sposta dall’esterno verso il centro. Escher la commenta così: “(…) la bisezione delle figure è stata portata all’assurdo. L’animale più piccolo avente ancora una testa, una coda e quattro zampe, è lungo circa 2 mm. Dal punto di vista della composizione questo lavoro è solo in parte soddisfacente”.

Figura 3. M. C. Escher, Sempre più piccolo

Quella che l’autore chiama “bisezione” è un dimezzamento delle lunghezze: lo si può verificare scegliendo un animale nella parte più esterna e, dopo aver individuato quelli “con la stessa forma” che lo“seguono” spostandosi verso il centro, misurando le distanze testa-coda si può prendere spunto da qui per parlare di similitudine e, riprendendo l’argomento area, interrogarsi sul rapporto tra aree di figure simili.
L’insoddisfazione di Escher per i suoi tentativi di rappresentazione dell’infinito trovò risposta quando egli incontrò il matematico Harold Scott Macdonald Coxeter, che gli fece conoscere il cosiddetto modello di
Poincaré del piano iperbolico, basato sulla negazione del V postulato di Euclide. In esso l’artista trovò lo strumento per realizzare ciò che da tempo desiderava. Fece diversi tentativi in questo senso, il primo e più
rudimentale è Cerchio limite I, a cui seguirono, con migliori risultati, le xilografie Cerchio limite II, III e IV. In esse l’artista vide realizzata la rappresentazione dell’infinito, che commentò così: “(…) il limite
dell’infinitamente numeroso e dell’infinitamente piccolo viene raggiunto sul bordo circolare”.
Osserviamo come le incisioni Cerchio limite si possano considerare tassellazioni nel piano di Poincaré, nel senso che le repliche di una stessa figura sono isometriche in quanto figure del piano non euclideo.
Dal punto di vista didattico ricordiamo che le geometrie non euclidee da un punto di vista elementare compaiono tra i contenuti delle proposte della Commissione Brocca per i trienni di scuola secondaria superiore
in cui, nei commenti al tema geometria, l’introduzione delle geometrie non euclidee viene motivata dall’importanza di “chiarire il significato di (...) sistema ipotetico-deduttivo”; viene citata anche “la costruzione
diidonei modelli rappresentativi”, magari preceduta “dalla illustrazione dei più significativi tentativi di dimostrazione del V postulato di Euclide”. In questi ultimi anni, in diverse scuole sono state svolte delle
sperimentazioni in questo senso. Un punto di partenza potrebbe essere una delle xilografie di Escher, per esempio Cerchio limite I (fig. 4).

Figura 4. M. C. Escher, Cerchio limite I

 

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